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財經365訊 愛好博彩業和投資學的同學應該都對著名的凱利公式不陌生。這是一個通過計算 edge 和 odds 來選擇最佳投注比例的公式，目的是長期獲得最高的盈利。

公式中：

f = 應該放入投注的資本比值

p = 獲勝的概率

q = 失敗的概率

b = 賠率

其實公式的作者，John Larry Kelly，并不是一個資深賭徒，而是一位著名的物理學家，他發明這個公式的時候正是著名的 AT&T 的 Bell Lab 中的一名研究科學家，研究方向是當時還算新興前沿的電視信號傳輸協議。

這樣一個理論科學家是如何把名字和博彩聯系在一起的呢？那就不能不看下這本書了。

William PoundStone, 把 Kelly 公式和它發明者的故事寫入了他的作品，Fortune’s Formula, the untold story of the scientific betting system that beat the casinos and Wall Street.

1955 年 6 月，美國出現了一個極其有名的電視節目，叫做 64000 dollar question. 答題者通過不斷答對題來累積獎金，一時風靡全美，黃金時段收視率達到 85%，各路山寨節目不斷。

這樣一個 quiz show 迅速吸引了場外下注來賭贏家的賭盤。這檔節目的錄制是在紐約，東海岸現場直播，而西海岸則有延時。當時的新聞爆出一些丑聞，有關西海岸的賭徒通過電話提前得知結果，趕在了西海岸直播前下注。

John Kelly 看了新聞之后，他想到這個如何使具備一定內幕消息 (private wire) 但是同時有一部分雜音 (noise) 的賭徒最大化長期獲益的問題，可以使用他們實驗室關于咨詢學和噪音傳遞研究的公式來解決。于是，他以一個賽馬的模型，推出了凱利公式的雛形。

John Kelly 的理論是這樣的，對于有一定 private wire 的賽馬人來說，第一個自然的想法當然是放入全部的資金，但是這樣就會造成萬一輸掉血本無歸的慘境。而在 Kelly 想要解決的這個問題中，在任何一個時刻輸掉全部資金顯然是不符合最大化累積收益的需求的。

真正應該關心的是長期累積的收入 (compounding return)，對于累積的收益來說，最后的結果只和輸贏的局數有關，而和輸贏的順序無關。所以他推出了一個最佳的投入倉位比，來最大化長期的累積收益：

bet = edge / odds = 預期獲益／獲益回報

這里的 edge 在賭博中可以理解為 獲勝的概率＊賠率 - 失敗的概率，當 edge 的數字為正的時候，這就是值得下注的比賽，而 edge 為 0 或者負數的情況說明賭徒不具備 edge, 不應該下注 (applies to most of games in casino)

而 odds 則是賠率，我們更可以把它理解為一種公眾對概率的估計，是公開的消息。

我們可以用 kelly formula 模擬這樣一種情況：小明現在有 100 元的起始資金，他現在將要投硬幣 4 次，每一次他投出硬幣為正面的時候，將獲得 6 倍資金回報（1 賠 5），當他投出硬幣為反面，陪光。

請問小明要如何分配每次下注資金，才能最大化他 4 次投幣之后的收益 (maximize geometric mean) 呢？

根據 Kelly 公式計算，我們可以建立起這樣一個 pascal triangle 正反面的概率各為 50%，edge = 0.5*5-0.5 = 2, odds 為 5，最佳倉位為 40%，可以看到最終在 16 個可能出現的結果中 (4 次投擲)，12.96 和 8100 出現 1 次，64.8 和 1620 出現 4 次，324 出現 6 次，16 次結果的 geometric mean 為 324 - Kelly 公式的目的正是最大化這些結果的 geometric mean。

由于 Kelly 公式著眼于長期回報率和風險的控制，所以天然就吸引投資人想要把它應用在投資當中。

比如著名的傳奇數學家 Edward Thorp 讀了 John Kelly 的論文之后，先是自學 Fortran 用 IBM 大型機開發了一套專門用于 21 點的算法（感興趣的同學可以去看下電影 21，電影里的 card counting 的方法正是獲得 edge 的來源），帶上 John Kelly 的導師在拉斯維加斯大把吸金。

之后又專門成立了一個 hedge fund - Princeton Newport Partners. 看看這個 fund 的表現吧

Kelly Formula 到底在投資中起到了哪些作用，又有哪些可以研究發掘的領域呢？

Kelly Formula 在倉位控制中的應用

在股票市場中，kelly formula 的形式和賭博中稍有不同，因為失敗之后有一個 expected loss, 我們將公式修改為 f = (bp - cq) / (bc)，來做一個簡單的回測。

假定賺錢 (p) 賠錢概率 (q = 1-p) 一樣，均為 0.5，我們認為凈贏率 (b) 為最高價 / 當前價 -1，凈損失率 (c) 為 1- 最低價 / 當前價。

如果當前價大于一年內最高價，滿倉，如果當前價小于一年內最低價，空倉，其他情況使用之前得到的 f 計算出持倉比例(0-1 之間)，每周調倉。

我們挑選了單只股票作回測，回測的參照物是該股票的買入持有策略（即為價格曲線），看看使用 Kelly 公式調節倉位有什么樣的效果。

在此基礎上，我們再嘗試一些優化，

p=q=0.5 的假設太簡單粗暴啦， 我們來根據歷史數據統計過去一年中 5 個交易日內的漲跌概率。

加入新的標準，統計過去一年內該股票的一周最大漲跌幅，以此計算 b 和 c，得到的 f 與之前 f 的求平均。

設定止損。如果一周內跌幅超過 8%，則清倉。

看看是不是優化以后的代碼會有更好的表現呢？

有興趣的同學可以在這里克隆代碼 Kelly Formula 的倉位控制（https://www.ricequant.com/community/topic/598/kelly-formula-簡單應用）

Kelly Formula 在選股和建立投資組合方面的應用

Kelly 公式在投資組合的應用中，也經常以 f = excess return/variance 的形式出現，f 的數值越高也就是投資的價值越大：

1. 計算股票池中每只股票的 Kelly leverages 作為排序 score（這里過去一年內每日收益的 mean/var）

2. 從大到小進行排序，選出前 10 名的股票，價格在 5 日均線之上時才購買，平均購買，每月調倉。

在此基礎上仍然有進步的空間，因為我們通過 kelly score 選擇股票的時候并未考慮之間的相關性，可以考慮在篩選出股票之后用 covariance matrix 重新計算 kelly 倉位并按照計算倉位比值來調倉。

有興趣的朋友可以自己克隆現在的策略 Kelly Formula 選股 （https://www.ricequant.com/community/topic/611/kelly-criterion進行選股/2）來進一步優化。

John Larry Kelly (1923 - 1965) 42 歲的時候就不幸去世了，我猜想對于他個人來說，更希望被人銘記的不是拉斯維加斯賭場和 hedge fund 之類的掘金工具，而是他作為科學家最驕傲的一個時刻 － 1961 年，和同事 Gertsman 一起，在 Bell Lab 用 IBM704 合成了人工聲音（Synthesize Speech），Kelly 的 vocoder 制作了歌曲 Daisy Bell. 史上第一首由電腦合成的音樂.

就在這一年，一個叫做 Arthur Clarke 的作家訪問了 Bell Lab, 被這個人工合成的聲音和音樂震驚，將這一幕寫入了他的科幻小說。

又過了七年，一個叫做 Kubrike 的導演讓一臺瀕死的電腦 HAL 在科幻電影里把這首歌曲唱了出來，這是對科學家 Kelly 最好的致敬和緬懷。

到此，小編要和廣大的投資者朋友們說再見啦，大家是不是很舍不得小編呢？不用傷心，不用難過，大家可以閱讀下面的幾篇文章，財經365的小編永遠伴隨著您！！更多的資訊請關注財經365課堂頻道！！！

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